PPG - persona ponendi globalis

persona ponendi globalis heißt auf Englisch "global positioning person"
Vorbemerkung:
Dein GPS Receiver berechnet in der Regel jede Sekunde mit bis zu zwölf Satelliten seine Position und kommt dabei mit Empfangsfehlern durch stratosphärische Störungen oder Reflexionen zurecht.

Es ist jetzt deine Aufgabe, die Berechnung durchzuführen, da du die "GPP" bist.

Um die Startposition dieses Unknown-Caches zu erhalten, musst du die Berechnung aber nur ein einziges Mal sowie mit nur vier Satelliten und ohne Fehlerausgleichsrechnung durchführen. Das ist nur ein kleiner Teil der Rechnung, die dein GPSr ständig macht. Dennoch geht es nicht ohne Mathematik.

Daher ist es ohne einen wissenschaftlichen Rechner sehr schwierig und zeitaufwändig. Ein Taschenrechner mit 10 Stellen reicht mit seiner Genauigkeit leider nicht aus. Meine Berechnung mit einem solchen Taschenrechner ergab durch die Fehlerfortpflanzung ca. 400m Abweichung im Endergebnis.

Mit Excel kann man es sehr genau berechnen, wenn man Zwischenwerte nicht abtippt, sondern den Zelleninhalt in Formeln übernimmt. Auch ein Rechner mit CAS (Computer-Algebra-System) oder ein entsprechendes PC-Programm wie z.B. Derive, sind geeignet. Damit geht es sogar noch einfacher.

Empfangsdaten
Satellit	Satellitenposition (x|y|z)	Signallaufzeit in ms
S1	(16,054|5,843|20,359)	67,68794288
S2	(15,597|13,087|17,084)	70,02430643
S3	(12,488|21,629|9,090)	77,23477217
S4	(19,934|11,509|13,289)	70,41117553

Die x,y,z-Koordinaten sind in der Einheit 1000 km. Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im Erdmittelpunkt, die z-Achse zeigt nach Norden, die x-Achse geht durch den Nullmeridian. Die x-y-Ebene ist folglich die Äquatorebene. Rechnet man mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit der Signale von 299792,5 km pro Sekunde, kann man mit ihr und der Signallaufzeit die Entfernungen zu den Satelliten berechnen. Das ergibt für den ersten Satelliten eine Entfernung von 20 292,33762 km bzw. 20,29233762 Koordinateneinheiten.

Die Quarzuhr des GPSr ist nur "nur" eine millionstel Sekunde genau, das macht bei der großen Signalgeschwindigkeit einige 100m Ungenauigkeit aus. Der GPS Receiver nimmt die Atomuhr eines Satelliten als Referenz, daher tritt dieses Problem in der Praxis nur bei Auswertung der Satellitenzeit, aber nicht bei der Ortsbestimmung auf. Das hat dazu den Vorteil, dass sich die Abweichungen durch die Bewegung und die in der Satellitenbahn geringere Gravitation nach der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie nicht auswirken.

Wenn man nur die Entfernung zu einem Satelliten kennt, ist der Ort durch die Kugeloberfläche der Kugel um den Satelliten mit dem Radius dieser Entfernung bestimmt.

Bei zwei Satelliten befindet man sich auf dem Schnittkreis der beiden Kugeln K1 und K2. Durch einfache Subtraktion der beiden Kugelgleichungen fallen deren quadratischen Glieder weg und es entsteht die Gleichung der Ebene E1, die den Schnittkreis enthält (s. Bild oben).

Bei vier Satelliten schneiden sich die drei Ebenen E1=K1-K2, E2=K2-K3 und E3=K3-K4 in einem Punkt. Dort ist der Startpunkt.(s. Bild unten)

Aufgabe

Stelle die vier Kugelgleichungen auf. Als Hilfe: Für die erste Kugel lautet sie
k1 := (x-16,054)²+(y-5,843)²+(z-20,359)²-20,29233762²=0

Bestimme durch Differenzbildung die drei Ebenengleichungen. Als Hilfe: Die Gleichung der ersten Ebene lautet:
-0,914x+14,488y-6,55z=-28,87849727

Die Lösung des linearen Gleichungssystems aus drei Gleichungen mit Hilfe des Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additions- oder Gaußverfahrens liefert die Koordinaten des Schnittpunktes = Startpunkt.

Als Letztes müssen noch die Kartesischen Koordinaten (x|y|z)in die sphärischen (Radius|östliche Länge|nördliche Breite) umgerechnet werden...fertig.

Begib dich zur Startposition. Es erwartet dich ein Rundweg von etwa 1,5 km Länge.
Dein Ergebnis kannst du hier überprüfen : geochecker
Da der Hinweis an der Startposition nicht mehr sicher versteckt werden kann, berechne die Koordinaten von Station 2 wie folgt:
subtrahiere von den Minutendezimalen der Start-Nordkoordinate das 13,462889-fache des y- Koeffizienten der Ebene E2,
subtrahiere von den Minutendezimalen der Start-Ostkoordinate das (-7,2134387)-fache des Betrages des y- Koeffizienten der Ebene E3.
Falls an Station 2 die Finalkoordinaten wieder verschwunden sind, können die Finalkoordinaten errechnet werden, wenn von der Koordinate von S2 bei Nord 0,108 Minuten subtrahiert werden und bei Ost 0,225 Minuten addiert werden


Leider muss ich dringend darauf aufmerksam machen, dass nach Anbruch der Dämmerung und Dunkelheit keine Caches in Remscheider und Wermelskirchener Waldgebieten gesucht werden sollen. Falls dieses nicht eingehalten wird, müssen wir damit rechnen, dass alle Caches in diesen Gebieten abgeräumt werden müssen.

		Prefix	Lookup	Name	Coordinate
		S1	STAGE1	Startpunkt (Trailhead)	???
Note: