Einführung in Konzepte der linearen Algebra am Wallberg

Dieser Geocache dient, um Leuten einen kleinen Einblick in typische Konzepte der linearen Algebra an Hand der reellen Zahlen zu geben u.A. Vektoren, Determinanten, Transformationen und Basiswechsel. Vorwissen in Trigonometrie, Anwendung polarer Koordinaten und analytischer Geomterie sind vorrausgesetzt. Benötigte Materialien sind Geodreieck, Taschenrechner, Papier und Stift. 

Wir haben Koordinaten eines Ortes angegeben und müssen herausfinden, welcher Ort damit gemeint ist (Die Orte sind unten im Bild von der runden Platte des Wallbergs zu finden). Hört sich erstmal ziemlich trivial an. Problem ist nur, dass die Koordinaten in Vielfachen der Distanzen zweier anderer Orte gegeben ist, (Das ist per se das Konzept einer anderen Basis. Unsere Basisvektoren sind eben Stadt-A und Stadt-B) also müssen wir von dieser Basis in eine für uns lesbare Basis umrechenen. Ich würde die Basis wählen, die durch die Ost- und Nordachse definiert ist, wobei eine Einheit einem Kilometer entspricht. Unser Ziel ist also die Transformation von der "Städte-Basis" in die "Nord-Ost-Basis". Ok, das war alles recht theoretisch, kommen wir zum praktischen. Unsere beiden Städte sind Birkenfeld und Mäuerach. Um diese Beiden Städte in der Vektordarstellung angeben zu können, müssen wir ihre Position kennen und bilden dann die entsprechenden Ortsvektoren. Auf der vorliegenen Platte sind die Distnazen nicht korrekt eingezeichet, (Manche Stadt, die anscheinend nur 2km entfernt sein sollte wird als weiter weg präsentiert, als welche, die mehr als doppelt so weit entfernt sind) also müssen wir anders vorgehen. Eine andere Möglichkeit wäre es die Distanz mittels polarer Koordinaten zu bestimmen. Dazu benötigen wir bloß den Winkel und den Abstand. Obwohl die Abstände auf der Platte nicht korrekt eingezeichnet sind, sind die Zahlen, die unter den Städtenamen stehen, zeimlich akkurat. Die Winkel sind ebenso korrekt. Alle Bedingungen für polare Koordinaten sind also erfüllt.

Die verschlüsselten Koordinaten unseres Ortes lauten (1,87 5,45).

Nun müssen wir also die Abstände, die unter den Städten Birkenfeld und Mäuerach stehen, mit den entsprechenden Sinus- und Kosinuswerten zu multiplizieren. Zur Erinnerung: Der Sinus hat bei den polaren Koordinaten die y-Achse (bzw. die Nordachse) und der Kosinus die x-Achse (bzw. die Ostachse) repräsentiert. Also müssen jetzt Winkel der beiden Städte abgemessen werden. Die Abstände müssen dann mit dem Sinus und Kosinus multipliziert werden. x = r * cos(a) y = r * sin(a) Sie sollten die Koordinaten berechnen.

Wir haben unsere neuen Basisvektoren. Die Koordinaten werden in einer 2x2 Matrix dargestellt (zwei Basisvektoren mit je zwei Parametern. Zwei mal Zwei). Die Koordinaten des ersten Basisvektores unserer Transformation, Birkenfeld, werden in der ersten Spalte angegeben, in der ersten Zeile die x-Koordinate, in der zweiten die y-Koordinate. Selbes gilt für den zweiten Basisvektor, Mäuerach, in der zweiten Spalte. Dies sollte dann in etwa so aussehen.: 

(Abb.1)

Also wissen wir jetzt schon mal, wie wir von der Kilometerbasis (bzw. die Nord- Ost-Basis) in die Birkenfeld-Mäuerach-Basis kommen. Um einen Punkt als Vielfache der Abstände von Birkenfeld und Mäuerach anzugeben, müssen wir dessen Ortsvektor mit der gegebenen Transformation verrechenen. Das sieht verallgemeinert so aus: 

(Abb.2)

(Abb.3)

Versuchen Sie sich klarzumachen, wieso wir das so berechnen und nicht anders. Dazu hilft es erneut sich die Ortsvektoren als Punkte in der Ebene vorzustellen.

Unser Ziel ist aber genau das Gegenteil; wir wollen von der Birkenfeld-Mäuerach- Basis in die Kilometerbasis. Dazu brauchen wir die Umkehrmatrix, welche so notiert wird: 

(Abb.4)

Um klarzumachen, wie diese genau berechnet wird, möchte ich noch das Konzept einer Determinanten einführen. Die Determinante einer Matrix beschreibt die entstehende Fläche pro Fläche, wenn diese Transformation angewendet wird. Durch eine kleine Darstellung sollte diese Idee klar werden: 

(Abb.5)

Die Determinante einer 2x2-Matrix lässt sich wie folgt berechnen: 

(Abb.6)

Wobei A die gegebene Matrix darstellt. Dass die Umkehrmatrix eine Determinate haben sollte, die dem multiplikativem Inversem der Originalmatrix entspricht, sollte einleichtend sein. Wenden wir beide Transformationen hintereinander an, so sollte das Produkt dieser beiden Matrizen die Ausgangsbasis sein, also in unserem Fall eben die Kilometerbasis. Die Umkehrmatrix wird so berechnet: 

(Abb.7)

Multiplizieren wir eine Matrix mit ihrer Umkehrmatrix sieht das so aus: 

(Abb.8)

und das ist allerdings die Identitätsmatrix. Verrechnen wir nun also unsere Koordinaten vom Anfang (offensichtlich in der Form eines Ortsvektors) mit der Umkehrmatrix der Birkenfeld-Mäuerach-Basis. 

(Abb.9)

Das Resultat ist in der Kilometerbasis. Nun sollte es nicht schwierig fallen, die polare Schreibweise durch Anwendung trigometrischer Funktionen und Geometrie zu ermitteln.

Zur Erinnerung: tan^-1 und der Satz des Pythagoras sind ihre Freunde. Durch den Winkel und die Distanz sollten sie nun in der Lage sein, den Ort, welcher am Anfang mittels der Birkenfeld-Mäuerach-Basis angegeben wurde, zu erkennen.